Grup titik 📖 Wikipedia

Bauhinia blakeana bunga di bendera wilayah Hong Kong memiliki simetri C 5 ; bintang di setiap kelopak memiliki simetri D 5 .

Yin dan Yang simbol memiliki geometri simetri C 2 dengan warna terbalik

Dalam geometri, grup titik adalah grup geometris simetri (isometri) yang menjaga setidaknya satu titik tetap. Kelompok titik dapat ada dalam ruang Euklides dengan dimensi apa pun, dan setiap kelompok titik dalam dimensi d adalah subkelompok dari grup ortogonal O(d). Kelompok titik dapat direalisasikan sebagai himpunan matriks ortogonal M yang mengubah titik x menjadi titik y :

y = Mx

dimana asal adalah titik tetap. Elemen kelompok titik dapat berupa rotasi (determinan dari M = 1) atau yang lain refleksi, atau rotasi tidak tepat (determinan dari M = −1).

Kelompok titik diskrit di lebih dari satu dimensi datang dalam keluarga tak berhingga, tetapi dari teorema pembatasan kristalografi dan salah satu teorema Bieberbach. setiap jumlah dimensi hanya memiliki jumlah terbatas dari kelompok titik yang simetris di beberapa kisi atau kisi dengan nomor itu. Ini adalah grup titik kristalografi.

Kelompok titik dapat diklasifikasikan ke dalam kelompok kiral (atau rotasi murni) dan kelompok akiral .^[1] Gugus kiral adalah subgrup dari grup ortogonal khusus SO( d ): grup ini hanya berisi transformasi ortogonal yang mempertahankan orientasi, yaitu, determinan +1. Gugus akiral juga mengandung transformasi determinan −1. Dalam gugus akiral, transformasi yang mempertahankan orientasi membentuk subgrup (kiral) dari indeks 2.

Grup Coxeter Hingga atau kelompok refleksi adalah kelompok titik yang dihasilkan murni oleh sekumpulan cermin pantul yang melewati titik yang sama. Grup peringkat n Coxeter memiliki mirror n dan diwakili oleh diagram Coxeter-Dynkin. Notasi Coxeter menawarkan notasi tanda kurung yang setara dengan diagram Coxeter, dengan simbol markup untuk rotasi dan grup titik subsimetri lainnya. Kelompok refleksi harus akiral (kecuali untuk grup trivial yang hanya mengandung elemen identitas).

Artikel ini sedang dalam perbaikan. CATATAN: Bagian ini terdapat masalah dan belum diterjemahkan. Untuk menghindari konflik penyuntingan, mohon jangan melakukan penyuntingan selama pesan ini ditampilkan. Artikel ini terakhir disunting oleh Д.Ильин (bicara | kontrib) 3 bulan lalu. (Perbarui pewaktu)

Hanya ada dua grup titik satu dimensi, yaitu grup identitas dan kelompok refleksi.

Group	Coxeter	Diagram Coxeter	Urutan	Deskripsi
C1	[ ]+		1	Identity
D1	[ ]		2	Reflection group

Grup titik dalam dua dimensi, terkadang disebut grup roset.

Mereka datang dalam dua keluarga yang tidak terbatas:

1. Grup siklik C_n of n - grup rotasi lipat
2. Grup dihedral D_n of n-kelompok rotasi dan refleksi lipat

Menerapkan teorema pembatasan kristalografi membatasi n ke nilai 1, 2, 3, 4, dan 6 untuk kedua famili, menghasilkan 10 kelompok.

Himpunan bagian dari grup titik pantulan murni, yang ditentukan oleh 1 atau 2 mirror, juga dapat diberikan oleh grup Coxeter dan poligon terkait. Ini termasuk 5 kelompok kristalografi. Simetri kelompok pantulan dapat digandakan dengan isomorphism, memetakan kedua cermin satu sama lain dengan cermin membagi dua, menggandakan simetri.

Reflektif					Rotasi				Terkait poligon
Group	Grup Coxeter		Diagram Coxeter		Urutan	Subgrup	Coxeter	Urutan
D1	A1	[ ]			2	C1	[]+	1	Digon
D2	A12	[2]			4	C2	[2]+	2	Persegi panjang
D3	A2	[3]			6	C3	[3]+	3	Segitiga sama sisi
D4	BC2	[4]			8	C4	[4]+	4	Persegi
D5	H2	[5]			10	C5	[5]+	5	Segi lima biasa
D6	G2	[6]			12	C6	[6]+	6	Segi enam biasa
Dn	I2(n)	[n]			2n	Cn	[n]+	n	Poligon beraturan
D2×2	A12×2	[[2]] = [4]		=	8
D3×2	A2×2	[[3]] = [6]		=	12
D4×2	BC2×2	[[4]] = [8]		=	16
D5×2	H2×2	[[5]] = [10]		=	20
D6×2	G2×2	[[6]] = [12]		=	24
Dn×2	I2(n)×2	[[n]] = [2n]		=	4n

Grup titik dalam tiga dimensi, kadang disebut grup titik molekul setelah digunakan secara luas dalam mempelajari kesimetrian molekul kecil.

Mereka datang dalam 7 kelompok tak terbatas dari kelompok aksial atau prismatik, dan 7 kelompok polihedral atau Platonis tambahan. Dalam Notasi Schönflies, *

• Grup aksial: C_n, S_2n, C_nh, C_nv, D_n, D_nd, D_nh
• Grup polihedral: T, T_d, T_h, O, O_h, I, I_h

Menerapkan teorema pembatasan kristalografi ke grup ini menghasilkan 32 grup titik kristalografi.

Domain fundamental berwarna genap/ganjil dari grup reflektif

C1v Urutan 2	C2v Urutan 4	C3v Urutan 6	C4v Urutan 8	C5v Urutan 10	C6v Urutan 12	...
D1h Urutan 4	D2h Urutan 8	D3h Urutan 12	D4h Urutan 16	D5h Urutan 20	D6h Urutan 24	...
Td Urutan 24	Oh Urutan 48	Ih Urutan 120

Kelompok titik refleksi, ditentukan oleh 1 sampai 3 bidang cermin, juga dapat diberikan oleh grup Coxeter dan polihedra terkait. Grup [3,3] dapat digandakan, ditulis sebagai [[ 3,3]], memetakan cermin pertama dan terakhir satu sama lain, menggandakan simetri menjadi 48, dan isomorfik ke grup [4,3].

Schönflies	grup Coxeter		Diagram Coxeter			Urutan	Terkait reguler dan
Td	A3	[3,3]				24	Tetrahedron
Td×Dih1 = Oh	A3×2 = BC3	[[3,3]] = [4,3]			=	48	Oktahedron bintang
Oh	BC3	[4,3]				48	kubus, segi delapan
Ih	H3	[5,3]				120	Icosahedron, dodecahedron
D3h	A2×A1	[3,2]				12	Prisma segitiga
D3h×Dih1 = D6h	A2×A1×2	[[3],2]			=	24	Prisma segi enam
D4h	BC2×A1	[4,2]				16	Prisma persegi
D4h×Dih1 = D8h	BC2×A1×2	[[4],2] = [8,2]			=	32	Octagonal prism
D5h	H2×A1	[5,2]				20	Prisma segi lima
D6h	G2×A1	[6,2]				24	Prisma segi enam
Dnh	I2(n)×A1	[n,2]				4n	n-gonal prisma
Dnh×Dih1 = D2nh	I2(n)×A1×2	[[n],2]			=	8n
D2h	A13	[2,2]				8	Balok
D2h×Dih1	A13×2	[[2],2] = [4,2]			=	16
D2h×Dih3 = Oh	A13×6	[3[2,2]] = [4,3]			=	48
C3v	A2	[1,3]				6	Hosohedron
C4v	BC2	[1,4]				8
C5v	H2	[1,5]				10
C6v	G2	[1,6]				12
Cnv	I2(n)	[1,n]				2n
Cnv×Dih1 = C2nv	I2(n)×2	[1,[n]] = [1,2n]			=	4n
C2v	A12	[1,2]				4
C2v×Dih1	A12×2	[1,[2]]			=	8
Cs	A1	[1,1]				2

The four-dimensional point groups (chiral as well as achiral) are listed in Conway and Smith,^[1] Section 4, Tables 4.1-4.3.

The following list gives the four-dimensional reflection groups (excluding those that leave a subspace fixed and that are therefore lower-dimensional reflection groups). Each group is specified as a Coxeter group, and like the polyhedral groups of 3D, it can be named by its related convex regular 4-polytope. Related pure rotational groups exist for each with half the order, and can be represented by the bracket Coxeter notation with a '+' exponent, for example [3,3,3]⁺ has three 3-fold gyration points and symmetry order 60. Front-back symmetric groups like [3,3,3] and [3,4,3] can be doubled, shown as double brackets in Coxeter's notation, for example [[3,3,3]] with its order doubled to 240.

Coxeter group/notation		Coxeter diagram		Order	Related polytopes
A4	[3,3,3]			120	5-cell
A4×2	[[3,3,3]]			240	5-cell dual compound
BC4	[4,3,3]			384	16-cell/Tesseract
D4	[31,1,1]			192	Demitesseractic
D4×2 = BC4	<[3,31,1]> = [4,3,3]		=	384
D4×6 = F4	[3[31,1,1]] = [3,4,3]		=	1152
F4	[3,4,3]			1152	24-cell
F4×2	[[3,4,3]]			2304	24-cell dual compound
H4	[5,3,3]			14400	120-cell/600-cell
A3×A1	[3,3,2]			48	Tetrahedral prism
A3×A1×2	[[3,3],2] = [4,3,2]		=	96	Octahedral prism
BC3×A1	[4,3,2]			96
H3×A1	[5,3,2]			240	Icosahedral prism
A2×A2	[3,2,3]			36	Duoprism
A2×BC2	[3,2,4]			48
A2×H2	[3,2,5]			60
A2×G2	[3,2,6]			72
BC2×BC2	[4,2,4]			64
BC22×2	[[4,2,4]]			128
BC2×H2	[4,2,5]			80
BC2×G2	[4,2,6]			96
H2×H2	[5,2,5]			100
H2×G2	[5,2,6]			120
G2×G2	[6,2,6]			144
I2(p)×I2(q)	[p,2,q]			4pq
I2(2p)×I2(q)	[[p],2,q] = [2p,2,q]		=	8pq
I2(2p)×I2(2q)	[[p]],2,[[q]] = [2p,2,2q]		=	16pq
I2(p)2×2	[[p,2,p]]			8p2
I2(2p)2×2	[[[p],2,[p]]] = [[2p,2,2p]]		=	32p2
A2×A1×A1	[3,2,2]			24
BC2×A1×A1	[4,2,2]			32
H2×A1×A1	[5,2,2]			40
G2×A1×A1	[6,2,2]			48
I2(p)×A1×A1	[p,2,2]			8p
I2(2p)×A1×A1×2	[[p],2,2] = [2p,2,2]		=	16p
I2(p)×A12×2	[p,2,[2]] = [p,2,4]		=	16p
I2(2p)×A12×4	[[p]],2,[[2]] = [2p,2,4]		=	32p
A1×A1×A1×A1	[2,2,2]			16	4-orthotope
A12×A1×A1×2	[[2],2,2] = [4,2,2]		=	32
A12×A12×4	[[2]],2,[[2]] = [4,2,4]		=	64
A13×A1×6	[3[2,2],2] = [4,3,2]		=	96
A14×24	[3,3[2,2,2]] = [4,3,3]		=	384

The following table gives the five-dimensional reflection groups (excluding those that are lower-dimensional reflection groups), by listing them as Coxeter groups. Related chiral groups exist for each with half the order, and can be represented by the bracket Coxeter notation with a '+' exponent, for example [3,3,3,3]⁺ has four 3-fold gyration points and symmetry order 360.

Coxeter group/notation		Coxeter diagrams		Order	Related regular and prismatic polytopes
A5	[3,3,3,3]			720	5-simplex
A5×2	[[3,3,3,3]]			1440	5-simplex dual compound
BC5	[4,3,3,3]			3840	5-cube, 5-orthoplex
D5	[32,1,1]			1920	5-demicube
D5×2	<[3,3,31,1]>		=	3840
A4×A1	[3,3,3,2]			240	5-cell prism
A4×A1×2	[[3,3,3],2]			480
BC4×A1	[4,3,3,2]			768	tesseract prism
F4×A1	[3,4,3,2]			2304	24-cell prism
F4×A1×2	[[3,4,3],2]			4608
H4×A1	[5,3,3,2]			28800	600-cell or 120-cell prism
D4×A1	[31,1,1,2]			384	Demitesseract prism
A3×A2	[3,3,2,3]			144	Duoprism
A3×A2×2	[[3,3],2,3]			288
A3×BC2	[3,3,2,4]			192
A3×H2	[3,3,2,5]			240
A3×G2	[3,3,2,6]			288
A3×I2(p)	[3,3,2,p]			48p
BC3×A2	[4,3,2,3]			288
BC3×BC2	[4,3,2,4]			384
BC3×H2	[4,3,2,5]			480
BC3×G2	[4,3,2,6]			576
BC3×I2(p)	[4,3,2,p]			96p
H3×A2	[5,3,2,3]			720
H3×BC2	[5,3,2,4]			960
H3×H2	[5,3,2,5]			1200
H3×G2	[5,3,2,6]			1440
H3×I2(p)	[5,3,2,p]			240p
A3×A12	[3,3,2,2]			96
BC3×A12	[4,3,2,2]			192
H3×A12	[5,3,2,2]			480
A22×A1	[3,2,3,2]			72	duoprism prism
A2×BC2×A1	[3,2,4,2]			96
A2×H2×A1	[3,2,5,2]			120
A2×G2×A1	[3,2,6,2]			144
BC22×A1	[4,2,4,2]			128
BC2×H2×A1	[4,2,5,2]			160
BC2×G2×A1	[4,2,6,2]			192
H22×A1	[5,2,5,2]			200
H2×G2×A1	[5,2,6,2]			240
G22×A1	[6,2,6,2]			288
I2(p)×I2(q)×A1	[p,2,q,2]			8pq
A2×A13	[3,2,2,2]			48
BC2×A13	[4,2,2,2]			64
H2×A13	[5,2,2,2]			80
G2×A13	[6,2,2,2]			96
I2(p)×A13	[p,2,2,2]			16p
A15	[2,2,2,2]			32	5-orthotope
A15×(2!)	[[2],2,2,2]		=	64
A15×(2!×2!)	[[2]],2,[2],2]		=	128
A15×(3!)	[3[2,2],2,2]		=	192
A15×(3!×2!)	[3[2,2],2,[[2]]		=	384
A15×(4!)	[3,3[2,2,2],2]]		=	768
A15×(5!)	[3,3,3[2,2,2,2]]		=	3840

The following table gives the six-dimensional reflection groups (excluding those that are lower-dimensional reflection groups), by listing them as Coxeter groups. Related pure rotational groups exist for each with half the order, and can be represented by the bracket Coxeter notation with a '+' exponent, for example [3,3,3,3,3]⁺ has five 3-fold gyration points and symmetry order 2520.

Coxeter group		Coxeter diagram	Order	Related regular and prismatic polytopes
A6	[3,3,3,3,3]		5040 (7!)	6-simplex
A6×2	[[3,3,3,3,3]]		10080 (2×7!)	6-simplex dual compound
BC6	[4,3,3,3,3]		46080 (26×6!)	6-cube, 6-orthoplex
D6	[3,3,3,31,1]		23040 (25×6!)	6-demicube
E6	[3,32,2]		51840 (72×6!)	122, 221
A5×A1	[3,3,3,3,2]		1440 (2×6!)	5-simplex prism
BC5×A1	[4,3,3,3,2]		7680 (26×5!)	5-cube prism
D5×A1	[3,3,31,1,2]		3840 (25×5!)	5-demicube prism
A4×I2(p)	[3,3,3,2,p]		240p	Duoprism
BC4×I2(p)	[4,3,3,2,p]		768p
F4×I2(p)	[3,4,3,2,p]		2304p
H4×I2(p)	[5,3,3,2,p]		28800p
D4×I2(p)	[3,31,1,2,p]		384p
A4×A12	[3,3,3,2,2]		480
BC4×A12	[4,3,3,2,2]		1536
F4×A12	[3,4,3,2,2]		4608
H4×A12	[5,3,3,2,2]		57600
D4×A12	[3,31,1,2,2]		768
A32	[3,3,2,3,3]		576
A3×BC3	[3,3,2,4,3]		1152
A3×H3	[3,3,2,5,3]		2880
BC32	[4,3,2,4,3]		2304
BC3×H3	[4,3,2,5,3]		5760
H32	[5,3,2,5,3]		14400
A3×I2(p)×A1	[3,3,2,p,2]		96p	Duoprism prism
BC3×I2(p)×A1	[4,3,2,p,2]		192p
H3×I2(p)×A1	[5,3,2,p,2]		480p
A3×A13	[3,3,2,2,2]		192
BC3×A13	[4,3,2,2,2]		384
H3×A13	[5,3,2,2,2]		960
I2(p)×I2(q)×I2(r)	[p,2,q,2,r]		8pqr	Triaprism
I2(p)×I2(q)×A12	[p,2,q,2,2]		16pq
I2(p)×A14	[p,2,2,2,2]		32p
A16	[2,2,2,2,2]		64	6-orthotope