Sudut (geometri) 📖 Wikipedia

Dalam geometri Euklides, sebuah sudut adalah gambar yang dibentuk oleh dua sinar garis, yang disebut juga sisi dari sudut, berbagi titik akhir yang sama, yang disebut puncak/verteks dari sudut.^[1] Sudut dibentuk oleh dua sinar terletak pada bidang yang memuat sinar. Sudut juga dibentuk oleh irisan dua bidang. Ini disebut sudut dihedral. Dua kurva irisan juga mendefinisikan sudut, yang merupakan sudut singgung di titik persimpangan. Misalnya, sudut bola dibentuk oleh dua lingkaran besar pada bola sama dengan sudut dihedral antara bidang yang berisi lingkaran besar.

Sudut juga digunakan untuk pengukuran suatu sudut atau rotasi. Ukuran ini adalah rasio panjang busur lingkaran dengan jari-jari-nya. Dalam kasus sudut geometris, busur berada di titik pusat sudut dan dibatasi oleh sisi-sisinya. Dalam kasus rotasi, busur berada dipusat rotasi dan dibatasi oleh titik lain dan bayangannya dengan rotasi.

Euklides mendefinisikan sudut bidang sebagai kemiringan satu sama lain, pada bidang, dari dua garis yang bertemu satu sama lain, dan tidak terletak lurus terhadap satu sama lain. Menurut Proklos Diadokhos, sudut harus berupa kualitas atau kuantitas, atau hubungan. Konsep pertama digunakan oleh Eudemus, yang menganggap sudut sebagai penyimpangan dari garis lurus; yang kedua oleh Karpus dari Antiokhia, yang menganggapnya sebagai interval atau ruang antara garis irisan; Euklides mengadopsi konsep ketiga.^[2]

Dalam ekspresi matematika, biasanya menggunakan huruf Yunani (α, β, γ, θ, φ, . . . ) sebagai variabel yang menunjukkan ukuran beberapa sudut^[3] (untuk menghindari kebingungan dengan makna lainnya, simbol π biasanya tidak digunakan untuk tujuan ini). Huruf Romawi kecil (a, b, c, . . . ) juga digunakan, seperti huruf besar Romawi dalam konteks poligon. Lihat gambar di artikel ini untuk contoh.

Dalam gambar geometris, sudut diidentifikasi dengan label lampiran pada tiga titik yang mendefinisikannya. Misalnya, sudut dititik A dibatasi oleh sinar AB dan AC (yaitu garis dari titik A ke titik B dan titik A ke titik C) dilambangkan dengan ∠BAC (dalam Unicode U+2220 ∠ sudut) atau ${\displaystyle {\widehat {\rm {BAC}}}}$. Dimana tidak ada risiko kebingungan, terkadang sudut hanya disebut dengan titik puncaknya (dalam "sudut A").

Secara potensial, sebuah sudut dilambangkan sebagai ∠BAC, yang merujuk ke salah satu dari empat sudut: sudut searah jarum jam dari B ke C, sudut berlawanan arah jarum jam dari B ke C, sudut searah jarum jam dari C ke B, atau sudut berlawanan arah jarum jam dari C ke B, di mana arah pengukuran sudut menentukan tandanya (lihat Sudut positif dan negatif). Namun, dalam banyak situasi geometris, jelas dari konteks bahwa sudut positif kurang dari atau sama dengan 180 derajat yang dimaksud, dalam hal ini tidak ada ambiguitas yang muncul. Jika tidak, apabila konvensi diadopsi sehingga ∠BAC mengacu pada sudut berlawanan arah jarum jam (positif) dari B ke C, dan ∠CAB sudut berlawanan arah jarum jam (positif) dari C ke B.

Ada beberapa terminologi umum untuk sudut, yang ukurannya selalu non-negatif (lihat § Sudut positif dan negatif):^[4][5]

• Sudut yang besarnya sama dengan 0° atau tidak berubah disebut sudut nol.
• Sudut lebih kecil dari sudut siku-siku (kurang dari 90°) disebut sudut lancip ("akut" yang berarti "tajam").
• Sudut sama dengan 14 putaran (90° atau π2 radian) disebut sudut siku-siku. Dua garis yang membentuk sudut siku-siku disebut normal, ortogonal, atau tegak lurus.
• Sudut lebih besar dari sudut siku-siku dan lebih kecil dari sudut lurus (antara 90° dan 180°) disebut sudut tumpul.
• Sudut sama dengan 12 putaran (180° atau π radian) disebut sudut lurus.
• Sudut yang lebih besar dari sudut lurus tetapi kurang dari 1 putaran (antara 180° dan 360°) disebut sudut refleks.
• Sudut sama dengan 1 putaran (360 ° atau 2π radian) disebut sudut penuh, sudut lengkap, sudut bulat atau perigon.
• Sudut yang bukan kelipatan sudut siku-siku disebut sudut miring.

Nama, interval, dan satuan ukur ditunjukkan pada tabel di bawah ini:

Sudut siku-siku

Sudut lancip (a), tumpul (b), dan lurus (c). Sudut lancip dan tumpul disebut juga sudut miring.

Sudut refleks

• Sudut yang memiliki ukuran yang sama (yaitu besaran yang sama) dikatakan sama atau kongruen. Suatu sudut ditentukan oleh ukurannya dan tidak bergantung pada panjang sisi-sisi sudut tersebut (misalnya, semua "sudut siku-siku" sama besar).
• Dua sudut yang terbagi sisi terminal, namun berbeda ukurannya dengan kelipatan bilangan bulat dari satu putaran, disebut sudut koterminal.
• Sudut referensi adalah versi lancip dari setiap sudut yang ditentukan dengan pengurangan atau penambahan sudut lurus berulang kali putaran (12, 180°, atau π (radian), ke hasil seperlunya, sampai besaran berupa sudut lancip, nilai antara 0 dan 14 turn, 90°, atau π2 radian. Misalnya, sudut 30 derajat memiliki sudut acuan 30 derajat, dan sudut 150 derajat juga memiliki sudut acuan 30 derajat (180-150). Sudut 750 derajat memiliki sudut referensi 30 derajat (750-720).^[6]

Ketika dua garis lurus irisan di suatu titik, empat sudut terbentuk. Hubungan sudut-sudut ini dinamai menurut lokasi relatif satu sama lain.

• Sepasang sudut berhadapan, dibentuk oleh dua garis lurus irisan dalam bentuk "X", disebut sudut vertikal atau sudut berlawanan atau sudut berlawanan secara vertikal. Ia disingkat sebagai vert. opp. ∠s.^[7]

Persamaan sudut vertikal berlawanan disebut juga sebagai "teorema sudut vertikal". Eudemus dari Rhodes menghubungkan buktinya dengan Thales dari Miletus.^[8][9] Proposisi menunjukkan bahwa karena kedua pasangan sudut vertikal suplemen dengan kedua sudut berdekatan, maka besar sudut vertikal adalah sama. Menurut catatan sejarah,^[9] ketika Thales mengunjungi Mesir, dia mengamati bahwa setiap kali orang Mesir menggambar dua garis irisan, mereka akan mengukur sudut vertikal untuk memastikan bahwa mereka sama. Thales menyimpulkan bahwa seseorang dapat membuktikan bahwa semua sudut vertikal adalah sama jika seseorang menerima beberapa gagasan umum seperti:

• Semua sudut lurus adalah sama.
• Setara ditambahkan ke sama adalah sama.
• Setara dikurangkan dari yang sederajat adalah sama.

Ketika dua sudut berdekatan membentuk garis lurus, maka ia saling melengkapi. Oleh karena itu, jika menganggap bahwa besar sudut A sama dengan x, maka besar sudut C adalah 180° − x. Demikian pula, ukuran sudut D adalah 180° − x. Kedua sudut C dan sudut D memiliki ukuran sama dengan 180° − x dan adalah kongruen. Karena sudut B melengkapi kedua sudut C dan D, salah satu dari ukuran sudut ini dapat digunakan untuk menentukan ukuran Sudut B. Menggunakan ukuran sudut C atau sudut D, dengan menemukan ukuran sudut B sebagai 180° − (180° − x) = 180° − 180° + x = x. Oleh karena itu, baik sudut A dan sudut B memiliki ukuran sama dengan x dan sama besar.

• Sudut damping/berdekatan, sering disingkat sebagai adj. ∠s, adalah sudut memiliki titik dan sisi yang sama tetapi tidak memiliki titik interior yang sama. Dengan kata lain, ia adalah sudut dampingan, atau berdekatan, berbagi "lengan". Sudut-sudut damping dijumlahkan dengan sudut siku-siku, sudut lurus, atau sudut penuh adalah istimewa dan masing-masing disebut sudut kelengkapan, suplemen, dan eksplemen (lihat § Menggabungkan pasangan sudut di bawah).

Sebuah transversal adalah garis irisan sepasang garis (sering kali sejajar), dan dikaitkan dengan sudut interior alternatif, sudut padanan, sudut interior, dan sudut eksterior.^[10]

Tiga pasangan sudut khusus melibatkan penjumlahan sudut:

• Sudut penyiku adalah pasangan sudut dengan ukuran satu sudut siku-siku (14 putar, 90°, atau radian π2.^[11] Jika dua sudut komplekmen damping, sisi-sisinya yang tidak membentuk sudut siku-siku. Dalam geometri Euklides, dua sudut lancip pada segitiga siku-siku komplekmen, karena jumlah sudut dalam dari sebuah segitiga adalah 180 derajat, dan sudut siku-siku itu sendiri berjumlah 90 derajat.

Kata sifat komplementer berasal dari bahasa Latin complementum, terkait dengan kata kerja complere, "untuk mengisi". Sudut lancip "diisi" oleh komplekmen untuk membentuk sudut siku-siku.

Perbedaan antara sudut dan sudut siku-siku disebut "komplekmen" sudut.^[12]

Jika sudut A dan B komplekmen, hubungan berikut berlaku:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}}$

Tangen suatu sudut sama dengan kotangen komplemen dan garis irisannya sama dengan kosekan komplemen.

Prefiks "ko-" dalam nama beberapa rasio trigonometri mengacu pada kata "komplemen".

• Dua sudut dijumlahkan menjadi sudut lurus (putaran 12, 180°, atau radian π) disebut sudut suplemen.^[13]

Jika dua sudut bersuplemen adalah damping (yaitu memiliki simpul yang sama dan hanya memiliki satu sisi yang sama), sisi-sisinya yang tidak dibagi membentuk garis lurus. Sudut tersebut disebut sebagai sepasang sudut linear.^[14] Namun, sudut suplemen tidak harus berada pada garis yang sama, dan dapat dipisahkan dalam ruang. Misalnya, sudut damping dari jajaran genjang adalah suplemen, dan sudut berlawanan dari kuadrilateral siklik (yang semua simpulnya jatuh pada satu lingkaran) adalah suplemen.

Jika suatu titik P berada di luar lingkaran dengan pusat O, dan jika garis singgung dari P menyentuh lingkaran di titik T dan Q, maka ∠TPQ dan ∠TOQ adalah suplemen.

Sinus sudut suplemen adalah sama. Kosinus dan garis singgungnya (kecuali tidak terdefinisi) sama besarnya tetapi memiliki tanda berlawanan.

Dalam geometri Euklides, setiap jumlah dua sudut dalam segitiga adalah suplemen ketiga, karena jumlah sudut internal segitiga adalah sudut lurus.

• Dua sudut berjumlah satu sudut penuh (putaran 1, 360°, atau radian 2π) disebut sudut komplementer atau sudut konjugasi.

  Perbedaan antara sudut dan sudut lengkap disebut "eksplemen" sudut atau "damping" sudut.

• Sudut yang merupakan bagian dari poligon sederhana disebut sudut interior jika terletak di bagian dalam poligon sederhana tersebut. Poligon cekung sederhana memiliki setidaknya satu sudut dalam yang merupakan sudut refleks.

  Dalam geometri Euklides, ukuran sudut dalam dari segitiga dijumlahkan dengan π radian, 180°, atau putaran 12; ukuran sudut dalam dari cembung kuadrilateral sederhana berjumlah 2π radian, 360°, atau putaran 1. Secara umum, ukuran sudut dalam dari sebuah cembung sederhana poligon dengan sisi n berjumlah (n − 2)π radian, atau (n − 2)180 derajat, (n − 2)2 sudut siku-siku, atau putaran (n − 2)12.

• Suplemen sudut dalam disebut sudut luar, yaitu sudut dalam dan sudut luar membentuk pasangan sudut linear. Ada dua sudut luar pada setiap titik poligon, masing-masing ditentukan dengan panjang salah satu dari dua sisi poligon yang bertemu di titik sudut; kedua sudut ini vertikal dan karenanya sama besar. Sudut luar mengukur jumlah rotasi yang dilakukan pada sebuah titik untuk menelusuri poligon.^[15] Jika sudut dalam yang bersesuaian adalah sudut refleks, sudut luar harus dianggap negatif. Bahkan dalam poligon tidak sederhana dimungkinkan untuk menentukan sudut luar, tetapi apabila memilih orientasi dari bidang (atau permukaan) untuk menentukan tanda sudut luar mengukur.

  Dalam geometri Euklides, jumlah sudut luar poligon cembung sederhana, jika hanya satu dari dua sudut luar diasumsikan pada setiap simpul, akan menjadi satu putaran penuh (360°). Sudut luar disebut juga "sudut luar tambahan". Sudut luar biasanya digunakan dalam program Penyu Logo saat menggambar poligon biasa.

• Dalam segitiga, bagi-dua dari dua sudut luar dan garis-bagi dari sudut interior lainnya adalah setumpu (bertemu di satu titik).^{[16]: hal. 149}
• Dalam sebuah segitiga, tiga titik potong, masing-masing dari garis bagi sudut luar dengan sisi diperluas yang berlawanan, adalah kolinear.^{[16]: p. 149}
• Dalam sebuah segitiga, tiga titik irisan, dua di antaranya antara garis-bagi sudut interior dan sisi damping, dan yang ketiga antara garis-bagi sudut luar lainnya dan sisi samping diperpanjang, adalah segaris.^{[16]: hal. 149}
• Beberapa penulis menggunakan nama sudut luar dari poligon sederhana yang berarti sudut luar kelengkapan (bukan suplemen!) dari sudut dalam.^[17] Ini bertentangan dengan penggunaan di atas.

• Sudut antara dua bidang (seperti dua wajah damping dari polihedron) disebut sudut dihedral.^[12] Ini didefinisikan sebagai sudut lancip antara dua garis normal terhadap bidang.
• Sudut antara bidang dan garis lurus yang berpotongan sama dengan sembilan puluh derajat dikurangi sudut antara garis irisan dan garis melalui titik damping dan damping normal terhadap bidang.

Besar kecilnya suatu sudut geometri biasanya dicirikan oleh besarnya putaran terkecil yang memetakan salah satu sinar ke sinar lainnya. Sudut memiliki ukuran yang sama dikatakan sama atau kongruen atau sama dalam ukuran.

Dalam beberapa konteks, mengidentifikasi titik pada lingkaran atau menggambarkan orientasi objek dalam dua dimensi relatif terhadap orientasi referensi, sudut yang berbeda dengan kelipatan tepat dari putaran penuh secara efektif. Dalam konteks lain, mengidentifikasi titik pada kurva spiral atau menggambarkan rotasi kumulatif objek dalam dua dimensi relatif terhadap orientasi referensi, sudut yang berbeda dengan kelipatan bukan nol dari satu putaran penuh non-ekuivalen.

Untuk mengukur sudut θ, sebuah busur lingkaran pusat di titik sudut yang digambar dengan sepasang jangka. Perbandingan panjang s busur dengan jari-jari r lingkaran adalah banyaknya radian pada sudut tersebut. Secara konvensional, dalam matematika dan SI, radian diperlakukan sama dengan nilai tanpa dimensi 1.

Sudut yang dinyatakan dengan satuan sudut lain kemudian dapat diperoleh dengan mengalikan sudut dengan konstanta konversi sesuai dari bentuk k2π, di mana k adalah ukuran putaran penuh yang dinyatakan dalam satuan yang dipilih (misalnya, k = 360° untuk derajat atau 400 grad untuk gradian):

${\displaystyle \theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.}$

Nilai θ didefinisikan tidak tergantung pada ukuran lingkaran: jika panjang jari-jari diubah maka panjang busur berubah dalam proporsi yang sama, sehingga rasio s/r tidak berubah.^{[catatan 1]}

Postulat penambahan sudut menyatakan bahwa jika B berada dalam sudut AOC, maka

${\displaystyle m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC} }$

Ukuran sudut AOC adalah jumlah ukuran sudut AOB dan ukuran sudut BOC.

Satuan yang digunakan untuk mewakili sudut tercantum di bawah ini dalam urutan besarnya menurun. Dari satuan ini, derajat dan radian adalah yang paling umum digunakan. Sudut dinyatakan dalam radian bukan dimensi untuk analisis dimensi.

Sebagian besar satuan pengukuran sudut didefinisikan sedemikian rupa sehingga satu putaran (yaitu satu lingkaran penuh) sama dengan satuan n, untuk beberapa bilangan bulat n. Dua pengecualian adalah radian (dan subkelipatan desimalnya) dan bagian diameter.

Putaran (n = 1)

Putaran, juga siklus, lingkaran penuh, revolusi, dan rotasi, adalah gerakan atau ukuran lingkar komplekmen (seperti kembali ke titik yang sama) dengan lingkaran atau elips. Simbol yang digunakan dan belokan adalah cyc, rev, atau rot, tergantung pada aplikasinya.

Kuadran (n = 4)

Kuadran adalah yang memiliki 14 putaran, yaitu sudut kanan. Ini adalah satuan yang digunakan di Elemen Euclid. 1 kuad = 90° = π2 rad = 14 putaran = 100 grad. Dalam bahasa Jerman simbol ^∟ telah digunakan untuk menunjukkan sebuah kuadran.

Sekstan (n = 6)

sekstan (sudut segitiga sama sisi) yang memiliki 16 putaran. Ini adalah satuan yang digunakan oleh Babilonia,^[19][20] dan mudah dibuat dengan penggaris dan jangka. Derajat, menit busur dan detik busur adalah subunit seksagesimal dari unit Babilonia. 1 Satuan Babilonia = 60° = π/3 rad ≈ 1.047197551 rad.

Radian (n = 2π = 6.283...)

Radian adalah sudut yang dibentuk oleh busur lingkaran panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Simbol untuk radian adalah rad. Satu putaran adalah 2π radian, dan satu radian adalah 180°π, atau sekitar 57,2958 derajat. Dalam teks matematika, sudut sebagai tanpa dimensi dengan radian sama dengan satu, sehingga satuan rad dihilangkan. Radian digunakan di hampir semua pekerjaan matematika di luar geometri praktis sederhana, misalnya untuk sifat dan "alami" yang ditampilkan fungsi trigonometri ketika argumennya dalam radian. Radian adalah satuan (turunan) dari pengukuran sudut dalam SI, yang juga merupakan sudut sebagai tanpa dimensi.

Sudut jam (n = 24)

Sudut jam astronomis yang memiliki 124 putaran. Karena sistem ini dapat mengukur objek berputar sekali sehari (seperti posisi relatif bintang), subsatuan seksagesimal disebut menit waktu dan detik waktu. Ini berbeda dari, dan 15 kali lebih besar dari, menit dan detik busur. 1 jam = 15° = π12 rad = 16 kuad = 124 putaran = 16 23 grad.

(Kompas) titik atau angin (n = 32)

Titik, yang digunakan dalam navigasi, adalah 132 putaran. 1 titik = 18 sudut siku-siku = 11,25° = 12,5 grad. Setiap titik dibagi menjadi empat seperempat titik sehingga 1 putaran sama dengan 128 seperempat titik.

Heksakontade (n = 60)

Heksakontade adalah satuan Eratosthenes yang digunakan dan sama dengan 6°, sehingga satu putaran dibagi menjadi 60 heksakontade.

Pechus (n = 144–180)

Pechus adalah satuan Babilonia yang sama dengan sekitar 2° atau 2 12°.

Derajat biner (n = 256)

Derajat biner, juga dikenal sebagai radian biner (atau brad), adalah 1256 dari satu putaran.^[21] Derajat biner digunakan dalam komputasi sehingga sudut direpresentasikan secara efisien dalam satu bit (walaupun dengan presisi hingga). Ukuran sudut lain yang digunakan dalam komputasi didasarkan pada pembagian satu putaran menjadi 2ⁿ bagian yang sama untuk nilai n lainnya.^[22]

Derajat (n = 360)

"Derajat", dilambangkan dengan lingkaran superskrip kecil (°), adalah 1/360 putaran, jadi satu "putaran" adalah 360°. Kasus derajat untuk rumus yang diberikan sebelumnya, derajat dari n = 360° unit diperoleh dengan menyetel k = 360°2π. Satu keuntungan dari subunit seksagesimal lama ini adalah bahwa banyak sudut yang umum dalam geometri sederhana diukur sebagai bilangan bulat derajat. Pecahan derajat dapat ditulis melalui notasi desimal normal (misalnya 3,5° untuk tiga setengah derajat), tetapi subunit seksagesimal "menit" dan "detik" dari sistem "derajat-menit-detik" juga digunakan, khususnya untuk koordinat geografis dan dalam astronomi dan balistik.

Bagian diameter (n = 376.99...)

Bagian diameter (terkadang digunakan dalam matematika Islam) memiliki 160 radian. Satu "bagian diameter" kira-kira 0,95493°. Ada sekitar 376.991 bagian diameter per putaran.

Grad (n = 400)

grad, juga disebut grade, gradian, atau gon, memiliki 1400 putaran, jadi sudut siku-siku adalah 100 derajat.^[3] Ini adalah subsatuan desimal dari kuadran. Sebuah kilometer secara historis didefinisikan sebagai subtending sebuah senti-grad busur sepanjang lingkaran besar di Bumi. Jadi, kilometer adalah analog desimal dari mil laut seksagesimal.^{[butuh rujukan]} Lulusan sebagian besar digunakan di triangulasi dan survei kontinental.

Miliradian

Miliradian (mrad, terkadang mil) didefinisikan sebagai seperseribu radian, yang berarti bahwa satu putaran putaran terdiri dari 2000π mrad (atau sekitar 6283,185... mrad), dan hampir semua bidikan lingkup untuk senjata api dikalibrasi dengan definisi ini. Juga, ada tiga definisi turunan lainnya digunakan untuk artileri dan navigasi yang "kira-kira" sama dengan satu miliradian. Di bawah tiga definisi lain ini, satu putaran menghasilkan tepat 6000, 6300, atau 6400 mrad, yang sama dengan rentang dari 0,05625 hingga 0,06 derajat (3,375 hingga 3,6 menit). Sebagai perbandingan, miliradian sebenarnya adalah 0,05729578... derajat (3,43775... menit). Satu "Organisasi Pakta Pertahanan Atlantik Utara mil" didefinisikan sebagai 16400 putaran. Sama seperti milliradian yang sebenarnya, masing-masing definisi lainnya mengeksploitasi sifat subtensi yang berguna dari mil, yaitu bahwa nilai satu miliradian kira-kira sama dengan sudut yang dibentuk oleh lebar 1 meter jika dilihat dari jarak 1 km (2π6400 = 0.0009817... ≈ 11000).

Menit busur (n = 21.600)

menit busur (atau menit busur, atau hanya menit) adalah 160 derajat = 121.600 putaran. Ini dilambangkan dengan satu bilangan prima ( ′ ). Misalnya, 3° 30′ sama dengan 3 × 60 + 30 = 210 menit atau 3 + 3060 = 3,5 derajat. Format campuran dengan pecahan desimal juga terkadang digunakan, misalnya 3° 5.72′ = 3 + 5.7260 derajat. Sebuah mil laut secara historis didefinisikan sebagai menit busur di sepanjang lingkaran besar Bumi.

Menit dan detik busur (n = 1,296.000)

detik busur (atau detik busur, atau hanya kedua) adalah 160 dari menit busur dan 13600 derajat. Ini dilambangkan dengan prima ganda ( ″ ). Misalnya, 3° 7′ 30″ sama dengan 3 + 760 + 303600 derajat, atau 3,125 derajat.

Miliardetik (n = 1,296.000.000)

mas

Mikro detik busur (n = 1,296.000.000.000)

µas

Meskipun definisi pengukuran sudut tidak mendukung konsep sudut negatif, sering kali berguna untuk menerapkan konvensi yang memungkinkan nilai sudut positif dan negatif untuk mewakili orientasi dan/atau rotasi dalam arah berlawanan relatif terhadap beberapa referensi.

Dalam sistem koordinat Kartesius dua dimensi, sudut biasanya ditentukan oleh kedua sisinya, dengan titik puncaknya di titik asal. Sisi awal berada di sumbu-x positif, sedangkan sisi lain atau sisi terminal ditentukan oleh ukuran dari sisi awal dalam radian, derajat, atau putaran. Dengan sudut positif mewakili rotasi ke arah sumbu-y positif dan sudut negatif mewakili rotasi ke arah sumbu-y negatif. Ketika koordinat Kartesian diwakili oleh posisi standar, ditentukan oleh sumbu-x ke kanan dan sumbu-y ke atas, rotasi positif adalah anti-arah jarum jam dan rotasi negatif adalah arah jarum jam.

Dalam banyak konteks, sudut-θ secara efektif setara dengan sudut "satu putaran penuh θ minus". Misalnya, orientasi yang direpresentasikan sebagai −45° secara efektif dengan orientasi yang direpresentasikan sebagai 360° −45° atau 315°. Meskipun posisi akhirnya sama, rotasi fisik (gerakan) −45° tidak sama dengan rotasi 315°, misalnya rotasi dimegang sapu diletakkan di lantai berdebu akan meninggalkan jejak yang berbeda secara visual dari daerah yang disapu di lantai.

Dalam geometri tiga dimensi, "arah jarum jam" dan "anti-arah jarum jam" tidak memiliki arti mutlak, jadi arah sudut positif dan negatif harus ditentukan relatif terhadap beberapa referensi, yang biasanya adalah vektor melewati titik sudut dan tegak lurus pada bidang di mana sinar sudut berada.

Dalam navigasi, bantalan atau azimut diukur relatif pada bagian utara. Dengan konvensi, dilihat dari atas, sudut bantalan searah jarum jam positif, sehingga bantalan 45° sesuai dengan orientasi timur laut. Bantalan negatif tidak digunakan dalam navigasi, jadi orientasi barat laut sesuai dengan bantalan 315°.

Ada beberapa alternatif untuk mengukur besar sudut dengan sudut putar. Kelerengan atau gradien sama dengan singgung dari sudut, atau terkadang (jarang) sinus; gradien sering dinyatakan sebagai persentase. Untuk nilai yang sangat kecil (kurang dari 5%), derajat kelerengan kira-kira sama dengan ukuran sudut dalam radian.

Dalam geometri rasional sebaran antara dua garis didefinisikan sebagai kuadrat sinus sudut antara garis. Karena sinus suatu sudut dan sinus sudut tambahannya sama, setiap sudut rotasi memetakan salah satu garis ke garis lainnya mengarah ke nilai yang sama untuk penyebaran antar garis.

Para astronom mengukur pemisah sudut objek dalam derajat dari titik pengamatan mereka.

• 0,5° kira-kira lebar matahari atau bulan.
• 1° kira-kira selebar jari kelingking sepanjang lengan.
• 10° kira-kira selebar kepalan tangan tertutup sepanjang lengan.
• 20° kira-kira lebar rentang tangan di lengan.

Pengukuran ini jelas bergantung pada subjek individu, dan hal diatas sebagai perkiraan kaidah praktis.

Sudut antara garis dan kurva (sudut campuran) atau antara dua irisan kurva (sudut lengkung) didefinisikan sebagai sudut antara tangen pada irisan titik. Berbagai nama (sekarang jarang, jika pernah, digunakan) telah diberikan untuk kasus-kasus tertentu:—amphicyrtic (Yn. ἀμφίcode: grc is deprecated , di kedua sisi, κυρτός, cembung) atau cissoidal (Yn. κισσός, ivy), cembung ganda; xystroidal atau sistroidal (Yn. ξυστρίς, alat untuk menggores), cekung-cembung; amphicoelic (Yn. κοίλη, berongga) atau angulus lunularis, bikonkaf.^[23]

Matetikawan Yunani kuno mengetahui bagaimana cara membagi dua sudut (membaginya menjadi dua sudut yang sama besar) hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris, namun hanya bisa membagi tiga sudut tertentu. Pada tahun 1837 Pierre Wantzel menunjukkan bahwa untuk sebagian besar sudut, konstruksi ini tidak dapat dilakukan.

Dalam ruang Euklides, sudut θ antara dua vektor Euklides u dan v terkait dengan perkalian bintik dan panjang dengan rumus

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$

Rumus ini menyediakan metode yang mudah untuk menemukan sudut di antara dua bidang (atau permukaan lengkung) dari vektor normal dan antara garis miring dari persamaan vektor.

Untuk menentukan sudut dalam riil abstrak ruang perkalian dalam, mengganti hasil kali titik Euklides ( · ) dengan perkalian dalam ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, i.e.

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$

Dalam kompleks ruang perkalian dalam, ekspresi untuk kosinus di atas dapat memberikan nilai non-riil, sehingga diganti dengan

${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$

atau, menggunakan nilai absolut, dengan

${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$

Definisi terakhir arah vektor dan dengan demikian menggambarkan sudut antara subruang satu dimensi ${\displaystyle \operatorname {rentang} (\mathbf {u} )}$ dan ${\displaystyle \operatorname {rentang} (\mathbf {v} )}$ tentangan oleh vektor ${\displaystyle \mathbf {u} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {v} }$ secara bersamaan.

Definisi sudut antara subruang satu dimensi ${\displaystyle \operatorname {rentang} (\mathbf {u} )}$ dan ${\displaystyle \operatorname {rentang} (\mathbf {v} )}$ diberikan oleh

${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}$

dalam ruang Hilbert apabila diperluas ke subruang dari dimensi hingga. Diberikan dua subruang ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ dengan ${\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}$, ini mengarah pada definisi sudut ${\displaystyle k}$ yang disebut kanonik atau sudut utama di antara subruang.

Dalam geometri Riemann, tensor metrik digunakan untuk menentukan sudut di antara dua tangen. Dimana U dan V adalah vektor tangen dan g_ij adalah komponen dari tensor metrik G,

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$

Sudut hiperbolik adalah argumen dari fungsi hiperbolik sama seperti sudut lingkaran adalah argumen dari fungsi utama. Perbandingan apabila divisualisasikan sebagai ukuran bukaan sektor hiperbolik dan sebuah sektor lingkar karena luas dari sektor-sektor ini sesuai dengan besaran sudut dalam setiap kasus. Berbeda dengan sudut lingkar, sudut hiperbolik tak hingga. Ketika fungsi sirkular dan hiperbolik dipandang sebagai deret tak hingga dalam argumen sudutnya, melingkar hanyalah bentuk deret selang-seling dari fungsi hiperbolik. Tenunan dua jenis sudut dan fungsi ini dijelaskan oleh Leonhard Euler dalam Pengantar Analisis Tak Hingga.

Dalam geografi, lokasi titik di mana Bumi diidentifikasi menggunakan sistem koordinat geografis. Sistem ini menentukan lintang dan garis bujur dari setiap lokasi dalam hal sudut yang dibentuk di pusat Bumi, menggunakan ekuator dan (biasanya) meridian Greenwich sebagai referensi.

Dalam astronomi, suatu titik tertentu pada bola langit (yaitu, posisi yang tampak dari suatu objek astronomi) diidentifikasi menggunakan salah satu dari beberapa sistem koordinat astronomi, di mana referensi bervariasi sesuai dengan sistem tertentu. Para astronom mengukur pemisah sudut dari dua bintang dengan membayangkan dua garis melalui pusat Bumi, masing-masing irisan dengan salah satu bintang. Sudut di antara garis-garis tersebut dapat diukur dan merupakan jarak pisah antara dua bintang.

Dalam geografi dan astronomi, arah penampakan dapat ditentukan dalam hal sudut vertikal seperti ketinggian /elevasi dengan horizon serta azimut berhubungan dengan utara.

Para astronom juga mengukur ukuran semu objek sebagai diameter sudut. Misalnya, bulan purnama memiliki diameter sudut sekitar 0,5°, jika dilihat dari Bumi. Biasanya seseorang mengatakannya sebagai, "Diameter Bulan dalam bentuk sudut setengah derajat". Rumus sudut-kecil digunakan untuk mengubah pengukuran sudut tersebut menjadi rasio jarak/ukuran.

• Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History (Edisi 3rd), Pearson Prentice Hall, hlm. 104, ISBN 978-0-13-143748-7
• Heiberg, Johan Ludvig (1908), Heath, T. L. (ed.), Euclid, The Thirteen Books of Euclid's Elements, vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press.
• Sidorov, L. A. (2001) [1994], "Angle", dalam Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman, hlm. 97, 255, ISBN 978-0-7167-0456-0
• Slocum, Jonathan (2007), Preliminary Indo-European lexicon — Pokorny PIE data, University of Texas research department: linguistics research center, diarsipkan dari asli tanggal 2010-06-27, diakses tanggal 2 Feb 2010
• Shute, William G.; Shirk, William W.; Porter, George F. (1960), Plane and Solid Geometry, American Book Company, hlm. 25–27
• Wong, Tak-wah; Wong, Ming-sim (2009), "Angles in Intersecting and Parallel Lines", New Century Mathematics, vol. 1B (Edisi 1), Hong Kong: Oxford University Press, hlm. 161–163, ISBN 978-0-19-800177-5

 Artikel ini menyertakan teks dari suatu terbitan yang sekarang berada pada ranah publik: Chisholm, Hugh, ed. (1911), "Angle" , Encyclopædia Britannica, vol. 2 (Edisi 11), Cambridge University Press, hlm. 14 ;

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Angles (geometry).

Wikibooks Geometri memiliki halaman di:

Sudut Terpadu

•  "Angle" . Encyclopaedia Britannica. Vol. 2 (Edisi 9th). 1878. hlm. 29–30.