Varians 📖 Wikipedia

Dalam teori peluang dan statistika, variansi^[1] (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam^[2] suatu peubah acak adalah ekspektasi dari selisih kuadrat peubah acak dengan reratanya. Variansi merupakan suatu ukuran penyebaran yang menunjukkan seberapa jauh sekumpulan bilangan tersebar dari nilai reratanya. Pengakaran-kuadrat variansi menghasilkan simpangan baku. Selain itu, variansi merupakan suatu penciri distribusi peluang, yaitu pembeda antara suatu distribusi peluang dengan yang lainnya.

Variansi tidak untuk disamakan dengan variansi sampel. Variansi dari peubah acak, disebut juga variansi populasi, didefinisikan oleh sebuah persamaan. Di sisi lain, variansi sampel merupakan salah satu taksiran variansi yang berdasarkan suatu sampel yang diambil dari suatu populasi. Dengan kata lain, variansi sampel digunakan ketika populasi tidak dapat diamati seluruhnya sehingga variansi populasi harus ditaksir dari sampel yang tersedia.

Istilah varians pertama kali diperkenalkan oleh Ronald Fisher dalam makalahnya pada tahun 1918 yang berjudul The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance ("Korelasi di Antara Kerabat dalam Kerangka Pewarisan Mendel").

Misalkan ${\displaystyle X}$ adalah suatu peubah acak dengan rerata ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}$ hingga dan bernilai ${\displaystyle E[(X-\mu )^{2}]}$ hingga. Variansi dari ${\displaystyle X}$ didefinisikan sebagai ${\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]}$.^[3] Variansi dari ${\displaystyle X}$ biasanya dinotasikan ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ atau ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Jika ${\displaystyle X}$ merupakan peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang ${\displaystyle p_{X}(x)}$ untuk ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}}$, variansinya adalah$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{\forall x\in {\mathcal {D}}}(x-\mu )^{2}p_{X}(x),}$$dengan ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}$ rerata dari ${\displaystyle X}$, yaitu ${\textstyle \mu =\sum _{\forall x\in {\mathcal {D}}}xp_{X}(x)}$. Di sisi lain, jika ${\displaystyle X}$ merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang ${\displaystyle f_{X}(x)}$ untuk ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, variansinya adalah $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f_{X}(x)\,dx,}$$dengan ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}$ rerata dari ${\displaystyle X}$, yaitu ${\displaystyle \mu =\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)\,dx}$.

Cara perhitungan variansi yang lain adalah dengan memanfaatkan sifat linier dari operator ekspektasi ${\displaystyle \operatorname {E} }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2\mu X+\mu ^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu ^{2}\end{aligned}}}$

Dalam kata lain, variansi dari peubah acak ${\displaystyle X}$ adalah selisih dari ekspektasi dari ${\displaystyle X^{2}}$ dengan rerata kuadrat.

Misalkan pelemparan dadu seimbang bermuka ${\displaystyle n}$ dimodelkan oleh suatu peubah acak diskret ${\displaystyle X}$. Percobaan ini termasuk ke dalam kasus berpeluang sama sehingga peubah acaknya berdistribusi seragam diskret dengan fungsi peluang $${\displaystyle p_{X}(x)={\frac {1}{n}},\quad x\in \{1,\dots ,n\}.}$$dan ${\displaystyle 0}$ untuk ${\displaystyle x}$ lainnya. Rerata dari ${\displaystyle X}$ adalah ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{x=1}^{n}x\right)}$ sehingga variansinya adalah$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum _{x=1}^{n}(x-\mu )^{2}p_{X}(x)\\&=\sum _{x=1}^{n}x^{2}p_{X}(x)-\mu ^{2}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{x=1}^{n}x^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{x=1}^{n}x\right)^{2}\\&={\frac {1}{16}}(n+1)(2n+1)-{\frac {1}{14}}(n+1)^{2}\\&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}}$$Jika dadu seimbang yang dipertimbangkan bermuka ${\displaystyle n=6}$, variansi percobaannya adalah ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\approx 2,92}$.

Misalkan peubah acak ${\displaystyle X}$ memiliki distribusi eksponensial dengan parameter laju ${\displaystyle \lambda }$. Fungsi kepadatan peluang dari ${\displaystyle X}$ adalah

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},\quad &x\in [0,\infty )\\0,\quad &x\in (-\infty ,0)\end{cases}}}$

dan reratanya adalah ${\textstyle \mu ={\frac {1}{\lambda }}}$. Dengan integrasi parsial, dapat diperoleh rerata dari ${\displaystyle X^{2}}$ , yaitu

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{2}\right]&=\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}\,dx\\&=0+2\lambda ^{-2}\operatorname {E} [X]\\&=2\lambda ^{-2}\end{aligned}}}$

Dengan definisi, diperoleh variansi ${\displaystyle X}$, yaitu

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\int _{0}^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu ^{2}\\&=2\lambda ^{-2}-\lambda ^{-2}\\&=\lambda ^{-2}.\end{aligned}}}$

• Makalah asli Fisher mengenai varians Diarsipkan 2005-12-13 di Wayback Machine. (pdf)